introduction

6 mai 2007

Etages H

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3	3665	431	3667	429	3669	427	3671	425	3672	426	3670	428	3668	430	3666	432
4	2480	1618	2478	1620	2476	1622	2474	1624	2473	1623	2475	1621	2477	1619	2479	1617
5	3857	239	3859	237	3861	235	3863	233	3864	234	3862	236	3860	238	3858	240
6	2224	1874	2222	1876	2220	1878	2218	1880	2217	1879	2219	1877	2221	1875	2223	1873
7	3601	495	3603	493	3605	491	3607	489	3608	490	3606	492	3604	494	3602	496
8	48	4050	46	4052	44	4054	42	4056	41	4055	43	4053	45	4051	47	4049
9	1681	2415	1683	2413	1685	2411	1687	2409	1688	2410	1686	2412	1684	2414	1682	2416
A	304	3794	302	3796	300	3798	298	3800	297	3799	299	3797	301	3795	303	3793
B	1937	2159	1939	2157	1941	2155	1943	2153	1944	2154	1942	2156	1940	2158	1938	2160
C	112	3986	110	3988	108	3990	106	3992	105	3991	107	3989	109	3987	111	3985
D	1745	2351	1747	2349	1749	2347	1751	2345	1752	2346	1750	2348	1748	2350	1746	2352
E	368	3730	366	3732	364	3734	362	3736	361	3735	363	3733	365	3731	367	3729
F	2001	2095	2003	2093	2005	2091	2007	2089	2008	2090	2006	2092	2004	2094	2002	2096
								1	D
x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	1041	3055	1043	3053	1045	3051	1047	3049	1048	3050	1046	3052	1044	3054	1042	3056
1	688	3410	686	3412	684	3414	682	3416	681	3415	683	3413	685	3411	687	3409
2	1297	2799	1299	2797	1301	2795	1303	2793	1304	2794	1302	2796	1300	2798	1298	2800
3	944	3154	942	3156	940	3158	938	3160	937	3159	939	3157	941	3155	943	3153
4	1105	2991	1107	2989	1109	2987	1111	2985	1112	2986	1110	2988	1108	2990	1106	2992
5	752	3346	750	3348	748	3350	746	3352	745	3351	747	3349	749	3347	751	3345
6	1361	2735	1363	2733	1365	2731	1367	2729	1368	2730	1366	2732	1364	2734	1362	2736
7	1008	3090	1006	3092	1004	3094	1002	3096	1001	3095	1003	3093	1005	3091	1007	3089
8	3537	559	3539	557	3541	555	3543	553	3544	554	3542	556	3540	558	3538	560
9	2928	1170	2926	1172	2924	1174	2922	1176	2921	1175	2923	1173	2925	1171	2927	1169
A	3281	815	3283	813	3285	811	3287	809	3288	810	3286	812	3284	814	3282	816
B	2672	1426	2670	1428	2668	1430	2666	1432	2665	1431	2667	1429	2669	1427	2671	1425
C	3473	623	3475	621	3477	619	3479	617	3480	618	3478	620	3476	622	3474	624
D	2864	1234	2862	1236	2860	1238	2858	1240	2857	1239	2859	1237	2861	1235	2863	1233
E	3217	879	3219	877	3221	875	3223	873	3224	874	3222	876	3220	878	3218	880
F	2608	1490	2606	1492	2604	1494	2602	1496	2601	1495	2603	1493	2605	1491	2607	1489
								1	E
x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	2560	1538	2558	1540	2556	1542	2554	1544	2553	1543	2555	1541	2557	1539	2559	1537
1	3905	191	3907	189	3909	187	3911	185	3912	186	3910	188	3908	190	3906	192
2	2304	1794	2302	1796	2300	1798	2298	1800	2297	1799	2299	1797	2301	1795	2303	1793
3	3649	447	3651	445	3653	443	3655	441	3656	442	3654	444	3652	446	3650	448
4	2496	1602	2494	1604	2492	1606	2490	1608	2489	1607	2491	1605	2493	1603	2495	1601
5	3841	255	3843	253	3845	251	3847	249	3848	250	3846	252	3844	254	3842	256
6	2240	1858	2238	1860	2236	1862	2234	1864	2233	1863	2235	1861	2237	1859	2239	1857
7	3585	511	3587	509	3589	507	3591	505	3592	506	3590	508	3588	510	3586	512
8	64	4034	62	4036	60	4038	58	4040	57	4039	59	4037	61	4035	63	4033
9	1665	2431	1667	2429	1669	2427	1671	2425	1672	2426	1670	2428	1668	2430	1666	2432
A	320	3778	318	3780	316	3782	314	3784	313	3783	315	3781	317	3779	319	3777
B	1921	2175	1923	2173	1925	2171	1927	2169	1928	2170	1926	2172	1924	2174	1922	2176
C	128	3970	126	3972	124	3974	122	3976	121	3975	123	3973	125	3971	127	3969
D	1729	2367	1731	2365	1733	2363	1735	2361	1736	2362	1734	2364	1732	2366	1730	2368
E	384	3714	382	3716	380	3718	378	3720	377	3719	379	3717	381	3715	383	3713
F	1985	2111	1987	2109	1989	2107	1991	2105	1992	2106	1990	2108	1988	2110	1986	2112
								1	F
x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	1025	3071	1027	3069	1029	3067	1031	3065	1032	3066	1030	3068	1028	3070	1026	3072
1	704	3394	702	3396	700	3398	698	3400	697	3399	699	3397	701	3395	703	3393
2	1281	2815	1283	2813	1285	2811	1287	2809	1288	2810	1286	2812	1284	2814	1282	2816
3	960	3138	958	3140	956	3142	954	3144	953	3143	955	3141	957	3139	959	3137
4	1089	3007	1091	3005	1093	3003	1095	3001	1096	3002	1094	3004	1092	3006	1090	3008
5	768	3330	766	3332	764	3334	762	3336	761	3335	763	3333	765	3331	767	3329
6	1345	2751	1347	2749	1349	2747	1351	2745	1352	2746	1350	2748	1348	2750	1346	2752
7	1024	3074	1022	3076	1020	3078	1018	3080	1017	3079	1019	3077	1021	3075	1023	3073
8	3521	575	3523	573	3525	571	3527	569	3528	570	3526	572	3524	574	3522	576
9	2944	1154	2942	1156	2940	1158	2938	1160	2937	1159	2939	1157	2941	1155	2943	1153
A	3265	831	3267	829	3269	827	3271	825	3272	826	3270	828	3268	830	3266	832
B	2688	1410	2686	1412	2684	1414	2682	1416	2681	1415	2683	1413	2685	1411	2687	1409
C	3457	639	3459	637	3461	635	3463	633	3464	634	3462	636	3460	638	3458	640
D	2880	1218	2878	1220	2876	1222	2874	1224	2873	1223	2875	1221	2877	1219	2879	1217
E	3201	895	3203	893	3205	891	3207	889	3208	890	3206	892	3204	894	3202	896
F	2624	1474	2622	1476	2620	1478	2618	1480	2617	1479	2619	1477	2621	1475	2623	1473
								2	0

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5 mars 2007

Formules magiques

Nous allons calculer les 4050(4096-46) nombres qui vont remplir totalement le cube.

Si un tableur peut les générer entièrement, pour connaître le dernier, il faut calculer tous les précédents.

Nous avons l'analogue du mode "séquentiel". Nous allons trouvrer le mode "accès direct".

Pour cela, nous allons rapeller la constante nécessaire, à part les 46 générateurs.

S=2x(n³+1)=8194

La valeur sera Axyz . Attention : ne pas confondre avec Pxyz qui est la position, le contenant et le

contenu.

1-Pile i=0

1.1 Lignes impaires

1.1.1 Colonnes impaires

A0,2j+1,2k+1=S-(A000+A0,2j+1,0+A00,2k+1) [1]

A.N. : j=1 k=2 --> A035=S-(A000+A030+A005)=8194-(4096+2113+6)=1979

1.1.2 Colonnes paires

A0,2j+1,2k=A000+A0,2j+1,0-A00,2k [2]

A.N. : j=2 k=3 --> A056=A000+A050-A006=4096+2305-4090=2311

1.2 Lignes paires

1.2.1 Colonnes impaires

A0,2j,2k+1=A000-A0,2j,0+A00,2k+1 [3]

A.N. : j=2 k=1 --> A043=A000-A040+A003=4096-4032+4=68

1.2.2 Colonnes paires

A0,2j+1,2k+1=S-(A000+A0,2j+1,0+A00,2k+1) [4]

A.N. : j=3 k=2 --> A064=-A000+A060+A004=-4096+3776+4092=3772

2-Pile 1 à F

2.1 Ligne 0

2.1.1 Piles impaires

2.1.1.1 Colonnes impaires

A2i+1,0,2k+1=S-(A000+A2i+1,00+A00,2k+1) [5]

A.N. : i=1 k=2 --> A305=S-(A000+A300+A005)=8194-(4096+529+6)=3563

2.1.1.2 Colonnes paires

A2i+1,0,2k=A000+A2i+1,00-A00,2k [6]

A.N. : i=2 k=3 --> A506=A000+A500-A006=4096+1049-4090=1055

2.1.2 Piles paires

2.1.2.1 Colonnes impaires

A2i,0,2k+1=A000-A2i,00+A00,2k+1) [7]

A.N. : i=2 k=1 --> A403=A000-A400+A003=4096-2536+4=1864

2.1.2.2 Colonnes paires

A2i,0,2k=-A000+A2i,00+A00,2k [8]

A.N. : i=3 k=2 --> A604=-A000+A600+A004=4096+1049-4090=2458

2.2 Colonne 0

2.2.1 Piles impaires

2.2.1.1 Lignes impaires

A2i+1,2j+1,0=S-(A000+A2i+1,00+A0,2j+1,0) [9]

A.N. : i=1 j=2 --> A350=S-(A000+A300+A050)=8194-(4096+529+2305)=1264

2.2.1.2 Lignes paires

A2i+1,2j,0=A000+A2i,00-A0,2j,0 [10]

A.N. : i=2 j=3 --> A560=A000+A500-A060=4096-1049-3776=1369

2.2.2 Piles paires

2.2.2.1 Lignes impaires

A2i,2j+1,0=A000-A2i,00+A0,2j+1,0 [11]

A.N. : i=2 j=1 --> A430=A000-A400+A030=4096-2536+2113=3673

2.2.2.2 Lignes paires

A2i,2j,0=-A000+A2i,00+A0,2j,0 [12]

A.N. : i=3 j=2 --> A640=-A000+A600+A040=-4096+2552+4032=2488

2.3 Cas général (lignes et colonnes <>0)

2.3.1 Piles impaires

2.3.1.1 Lignes impaires

2.3.1.1.1 Colonnes impaires

A2i+1,2j+1,2k+1=-S+2A000+A2i+1,00+A0,2j+1,0+A00,2k+1 [13]

A.N. : i=1 j=2 k=3 --> A357=-S+2xA000+A300+A050+A007=-8194+2x4096+529+2305+8=2840

2.3.1.1.2 Colonnes paires

A2i+1,2j+1,2k=S-2A000-A2i+1,00-A0,2j+1,0+A00,2k [14]

A.N. : i=1 j=3 k=2 --> A374=S-2xA000+A300+A070+A004=8194-2x4096+529+2049+4090=1514

2.3.1.2 Lignes paires

2.3.1.2.1 Colonnes impaires

A2i+1,2j,2k+1=S-2A000-A2i+1,00+A0,2j,0+A00,2k+1 [15]

A.N. : i=2 j=1 k=3 --> A527=S-2xA000-A500+A020-A007=8194-2x4096-1049+3840-8=2785

2.3.1.1.2 Colonnes impaires

A2i+1,2j,2k=2A000+A2i+1,00-A0,2j,0-A00,2k [16]

A.N. : i=2 j=3 k=1 --> A562=2xA000+A500-A060-A002=2x4096+1049-3776-4094=1371

2.3.2 Piles impaires

2.3.2.1 Lignes impaires

2.3.2.1.1 Colonnes impaires

A2i+1,2j+1,2k+1=S-2A000+A2i+1,00-A0,2j+1,0-A00,2k+1 [17]

A.N. : i=3 j=1 k=2 --> A635=S-2xA000+A600-A030-A005=8194-2x4096+2552-2113-6=435

2.3.2.1.2 Colonnes paires

A2i+1,2j+1,2k=2A000-A2i,00-A0,2j+1,0-A00,2k [18]

A.N. : i=3 j=2 k=1 --> A652=2xA000-A600+A050-A002=2x4096-2552+2305-4092=3851

2.3.2.2 Lignes paires

2.3.2.2.1 Colonnes impaires

A2i,2j,2k+1=2A000-A2i,00-A0,2j,0+A00,2k+1 [19]

A.N. : i=2 j=2 k=1 --> A443=2xA000-A400-A040+A003=2x4096-2536-4032+4=1628

2.3.2.2.2 Colonnes paires

A2i,2j,2k=-2A000+A2i,00+A0,2j,0+A00,2k [20]

A.N. : i=1 j=1 k=2 --> A224=-2xA000+A200+A020+A004=-2x4096+4080+3840+4092=3820

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4 mars 2007

Magie

0-Dans la première partie de l'exposé, nous avons démontré qu'il n'était pas possible de créer un cube

de type "Benjamin Franklin" qui soit magique. Dans l'introduction, nous avons pris un exemple tiré du

livre de R.descombes(Vuibert) sur la construction d'un carré. Or celui-ci était "semi-magique".

En reprenant le raisonnement qui avait introduit la démonstration, le carré est généré par 31

générateurs. Or il n'y a que 2 diagonales. Donc un carré peut être magique.

Pour donner un exemple, nous allons prendre un des carrés, le premier (x=0).

Pour rendre l'exercice encore plus compliqué, nous allons donner une contrainte supplémentaire :

tous les nombres qui composent ce carré devront figurer dans le nouveau carré!

Evidemment, ils figureront dans un ordre différent. Mais surtout, il devra conserver sa particularité,

c'est-à-dire que les carrés élémentaires de 4 chiffres (2x2) devront faire le même total!!

x=0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-4096 2 4094 4 4092 6 4090 8 4089 7 4091 5 4093 3 4095 1

1-2433 1663 2435 1661 2437 1659 2439 1657 2440 1658 2438 1660 2436 1662 2434 1664

2-3968 130 3966 132 3964 134 3962 136 3961 135 3963 133 3965 131 3967 129

3-2305 1791 2307 1789 2309 1787 2311 1785 2312 1786 2310 1788 2308 1790 2306 1792

4-2184 1914 2182 1916 2180 1918 2178 1920 2177 1919 2179 1917 2181 1915 2183 1913

5-3833 263 2835 261 3837 259 3839 257 3840 258 3838 260 3836 262 3834 264

6-2056 2042 2054 2044 2052 2046 2050 2048 2049 2047 2051 2045 2053 2043 2055 2041

7-3705 391 3707 389 3709 387 3711 385 3712 386 3710 388 3708 390 3706 392

8-1984 2114 1982 2116 1980 2118 1978 2120 1977 2119 1979 2117 1981 2115 1983 2113

9- 449 3647 451 3645 453 3643 455 3641 456 3642 454 3644 452 3646 450 3648

A-1856 2242 1854 2244 1852 2246 1850 2248 1849 2247 1851 2245 1853 2243 1855 2241

B- 321 3775 323 3773 325 3771 327 3769 328 3770 326 3772 324 3774 322 3776

C- 200 3898 198 3900 196 3902 194 3904 193 3903 195 3901 197 3899 199 3897

D-1721 2375 1723 2373 1725 2371 1727 2369 1728 2370 1726 2372 1724 2374 1722 2376

E- 72 4026 70 4028 68 4030 66 4032 65 4031 67 4029 69 4027 71 4025

F-1593 2503 1595 2501 1597 2499 1599 2497 1600 2498 1598 2500 1596 2502 1594 2504

Pour vous éviter de chercher les nombres, remarquons que les lignes contiennent les mêmes

nombres, dans un ordre différent.

Nous allons former 2 tableaux.

Le premier donnera les lignes du carré initial (non-magique) et leurs positions dans le carré

transformé.

0--->0 1--->D 2--->5 3--->8 4--->E 5--->3 6--->B 7--->6

8--->F 9--->2 A--->A B--->7 C--->1 D--->C E--->4 F--->9

Nous remarquons que 0 et A restent invariants, et que 4 et E s'échangent.

Ensuite, il y a 2 permutations circulaires de 3 lignes.

1--->D--->C--->1 B--->7--->6--->B

Enfin une permutation circulaire de 6 éléments.

2--->5--->3--->8--->F--->9--->2

Ensuite dans chaque lignes, l'origine du premier nombre n'est plus en collonne "0", et le

sens de lecture peut être direct ou inverse, suivant le tableau ci-dessous:

0 ---> 0 4 <---- 7 8 <----F C --->8

1 <--- F 5 ---> 8 9 --->0 D <----7

2 <---- F 6 ---> 8 A --->0 E<----7

3 ---> 0 7 <----7 B<----F F --->8

Dans la première partie, nous avions parlé du Rubik's cube. En fait il y a beaucoup d'analogies.

En effet le premier tableau simule les déplacements et le deuxième tableau représente les

rotations.

Prenons la ligne 1. Le premier tableau indique qu'elle se trouve en D.

Ensuite devant D, se trouve 7, qui estl'origine de l'ancien tableau, on lit 2369.

Ensuite la flèche indique que l'on parcourt dans le sens opposé. 2369, 1727, etc.

Les diagonales sont magiques. Les carrés forment le même total.

Exemple 4096+2+2369+1717=8194

Maintenant, certains se posent la question : pourquoi ne pas continuer pour obtenir un cube

magique. Il suffit d'essayer le générateur sous 4096. Il reste 4096-256=3790 nombres.

Au bout de quelques lignes, le quatriéme chiffre généré devient négatif.

En fait, une seule valeur convient, malheureusement, c'est un doublon!

Le raisonnement n'est pas trop compliqué, mais cela indique que l'on ne peut même pas

construire un second étage magique.

Maintenant, pour "info", montrons le premier étage, dans un autre plan.

Ici, ce sera le cube découpé selon le plan "P".

En fait les lignes "0", apparaitrons sur chaque ligne, mais empilées.

Dans l'orientation choisie initialement x représentant l'étage, y les lignes, z les colonnes, dans le

nouveau système , nous auront y=0 pour le plan, x la ligne, et z la colonne.

Mais dans la représentation x, y, z ce sera le même nombre.

y=0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-4096 2 4094 4 4092 6 4090 8 4089 7 4091 5 4093 3 4095 1

1- 513 3583 515 3581 517 3579 519 3577 520 3578 518 3580 516 3582 514 3584

2-4080 18 4078 20 4076 22 4074 24 4073 23 4075 21 4077 19 4079 17

3- 529 3567 531 3565 533 3563 535 3561 536 3562 534 3564 532 3566 530 3568

4-2536 1562 2534 1564 2532 1566 2530 1568 2529 1567 2531 1565 2533 1563 2535 1561

5-1049 3047 1051 3045 1053 3043 1055 3041 1056 3042 1054 3044 1052 3046 1050 3048

6-2552 1546 2550 1548 2548 1550 2546 1552 2545 1551 2547 1549 2549 1547 2551 1545

7-1033 3063 1035 3061 1037 3059 1039 3057 1040 3058 1038 3060 1036 3062 1034 3064

8-4088 10 4086 12 4084 14 4082 16 4081 15 4083 13 4085 11 4087 9

9- 521 3575 523 3573 525 3571 527 3569 528 3570 526 3572 524 3574 522 3576

A-4072 26 4070 28 4068 30 4066 32 4065 31 4067 29 4069 27 4071 25

B- 537 3559 539 3557 541 3555 543 3553 544 3554 542 3556 540 3558 538 3560

C-2544 1554 2542 1556 2540 1558 2538 1560 2537 1559 2539 1557 2541 1555 2543 1553

D-1041 3055 1043 3053 1045 3051 1047 3049 1048 3050 1046 3052 1044 3054 1042 3056

E-2560 1538 2558 1540 2556 1542 2554 1544 2553 1543 2555 1541 2557 1539 2559 1537

F-1025 3071 1027 3069 1029 3067 1031 3065 1032 3066 1030 3068 1028 3070 1026 3072

Maintenant nous allons couper suivant la troisième dimension, donc dazns le plan D.

Cette fois, les séries seront complétement différentes, en fait les nombres seront complétement

mélangés.

Le plan de référence sera z=0, les lignes seront référencées par x et les colonnes par y.

z=0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-4096 2369 3840 2113 4032 2305 3776 2049 1600 129 1856 385 1664 193 1920 449

1- 513 1216 769 1472 577 1280 823 1526 3009 3456 2753 3200 2945 3392 2689 3136

2-4080 2385 3824 2129 4016 2321 3760 2065 1584 145 1840 401 16468 209 1904 465

3- 529 1200 785 1456 593 1264 849 1520 3025 3440 2769 3184 2961 3776 2705 3120

4-2536 3929 2280 3673 2472 3865 2216 3609 40 1689 296 1945 104 1753 360 2009

5-1049 680 1305 936 1113 744 1369 1000 3545 2920 3289 2664 3481 2856 3225 2600

6-2552 3913 2296 3657 2488 3849 2232 3593 56 1673 312 1929 120 1737 376 1993

7-1033 696 1289 952 1097 760 1353 1016 3529 2936 3273 2680 3465 2872 3209 2616

8-4088 2377 3832 2121 4024 2313 3768 2057 1592 137 1848 393 1656 201 1912 457

9- 521 1208 777 1464 585 1272 841 1528 3017 3448 2761 3192 2953 3384 2697 3128

A-4072 2393 3816 2137 4008 2329 3752 2073 1576 153 1832 409 1640 217 1896 473

B- 537 1192 793 1448 601 1256 857 1512 3033 3432 2777 3176 2969 3368 2713 3112

C-2544 3921 2288 3665 2480 3857 2224 3601 48 1681 304 1937 112 1745 368 2001

D-1041 688 1297 944 1105 752 1361 1008 3537 2928 3281 2672 3473 2864 3217 2608

E-2560 3905 2304 3649 2496 3841 2240 3585 64 1665 320 1921 128 1729 384 1985

F-1025 704 1281 960 1089 768 1345 1024 3521 2944 3265 2688 3457 2880 3201 2624

Nous avons donc tracer les 16 carrés dans une dimension, et 1 pour les autres dimensions

reste 30 carrés à tracer, mais qui se déduisent des carrés précédents.

Maintenant, à part toutes les figures que l'on peut constituer, qui se scindent en deux catégories

principales, la première basée sur la somme des diagonales, ou vont apparaitre des lignes

brisées qui sont en fait les diagonales, mais décalées, et les carrés ou l'on va pouvoir prendre

quatre nombres, mais qui seront pris dans différents endroits, sans constituer un carré, mais

symétriques, reste à calculer chaque nombre à partir des générateurs.

On pourrait penser qu'il n'y a qu'une formule en fonction de tous ces générateurs.

En fait, il n'en est rien. Du fait de la particularité de la distribution des nombres, qui se scindent

en deux séries distinctes, mais alternées, va apparaitre la notion de parité, puisque ces nombres

occupent toujours le même rang, soit pair, soit impair.

Attention, du fait de la numérotation choisie, dans le systéme décimal, la première case 1, sera

impaire, tandis que dans le système hexadécimal, la première case sera 0 donc paire.

Nous choisirons le systéme hexadécimal, puisque chaque case est désignée par ce référentiel.

D'ou il y aura donc deux possibilités, comme nous avons affaire à un volume, donc à 3 dimensions

il y aura donc 2³ possibilités, soit 8.

L'inconvénient sera une multitude de formules, mais l'avantage est qu'elles ne comprendront que

quelques générateurs, donc plus faciles à calculer et à vérifier.

Il y aura deux sortes de formules, suivant que les nombres se trouveront sur les premières lignes,

colonnes et piles ou en dehors. Car les générateurs se trouvent sur celles-ci, arrivé sur les autres

plans, les premiéres rangées seront vides, à part la case d'origine, donc les formules pour celles

ci seront différentes que pour les nombres intérieures.

Posté par ZHONGGUO à 18:49 - Commentaires […] - Permalien [#]

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4 mars 2007

Derniers étages

x=B

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0- 537 3559 539 3557 541 3555 543 3553 544 3554 542 3556 540 3558 538 3560

1-1192 2906 1190 2908 1188 2910 1186 2912 1185 2911 1187 2909 1189 2907 1191 2905

2- 793 3303 795 3301 797 3299 799 3297 800 3298 798 3300 796 3302 794 3304

3-1448 2650 1446 2652 1444 2654 1442 2656 1441 2655 1443 2653 1445 2651 1447 2649

4- 601 3495 603 3493 605 3491 607 3489 608 3490 606 3492 604 3494 602 3496

5-1526 2842 1254 2844 1252 2846 1250 2848 1249 2847 1251 2845 1253 2843 1255 2841

6- 857 3239 859 3227 861 3235 863 3233 864 3234 862 3236 860 3238 858 3240

7-1512 2586 1510 2588 1508 2590 1506 2592 1505 2591 1507 2589 1509 2587 1511 2585

8-3033 1063 3035 1061 3037 1059 3039 1057 3040 1058 3038 1060 3036 1062 3034 1064

9-3432 666 3430 668 3428 670 3426 672 3425 671 3427 669 3429 667 3431 665

A-2777 1319 2779 1317 2781 1315 2783 1313 2784 1314 2782 1316 2780 1318 2778 1320

B-3176 922 3174 924 3172 926 3170 928 3169 927 3171 925 3173 923 3175 921

C-2969 1127 2971 1125 2973 1123 2975 1121 2976 1122 2974 1124 2972 1126 2970 1128

D-3368 730 3366 732 3364 734 3362 736 3361 735 3363 733 3365 731 3367 729

E-2713 1383 2715 1381 2717 1379 2719 1377 2720 1378 2718 1380 2716 1382 2714 1834

F-3112 986 3110 988 3108 990 3106 992 3105 991 3107 989 3109 987 3111 985

x=C

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-2544 1554 2542 1556 2540 1558 2538 1560 2537 1559 2539 1557 2541 1555 2543 1553

1-3921 175 3923 173 3925 171 3927 169 3928 170 3926 172 3924 174 3922 176

2-2288 1810 2286 1812 2284 1814 2282 1816 2281 1815 2283 1813 2285 1811 2287 1809

3-3665 431 3667 429 3669 427 3671 425 3672 426 3670 428 3668 430 3666 432

4-2480 1618 2478 1620 2476 1622 2474 1624 2473 1623 2475 1621 2477 1619 2479 1617

5-3857 239 3859 237 3861 235 2863 233 3864 234 3862 2 36 3860 2 38 3858 240

6-2224 1874 2222 1876 2220 1878 2218 1880 2217 1879 2219 1877 2221 1875 2223 1873

7-3601 495 3603 493 3605 491 3607 489 3608 490 3606 492 3604 494 3602 496

8- 48 4050 46 4052 44 4054 42 4056 41 4055 43 4053 45 4051 47 4049

9-1681 2415 1683 2413 1685 2411 1687 2409 1688 2410 1686 2412 1684 2414 1682 2416

A- 304 3794 302 3796 300 3798 298 3800 297 3799 299 3797 301 3795 303 3793

B-1937 2159 1939 2157 1941 2155 1943 2153 1944 2154 1942 2156 1940 2158 1938 2160

C- 112 3986 110 3988 108 3990 106 3992 105 3991 107 3989 109 3987 111 3985

D-1745 2351 1747 2349 1749 2347 1751 2345 1752 2346 1750 2348 1748 2350 1746 2352

E- 368 3730 366 3732 364 3734 362 3736 361 3735 363 3733 365 3731 367 3729

F-2001 2095 2003 2093 2005 2091 2007 2089 2008 2090 2006 2092 2004 2094 2002 2096

x=D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-1041 3055 1043 3053 1045 3051 1047 3049 1048 3050 1046 3052 1044 3054 1042 3056

1- 688 3410 686 3412 684 3414 682 3416 681 3415 683 3413 685 3411 687 3409

2-1297 2799 1299 2797 1301 2795 1303 2793 1304 2794 1302 2796 1300 2798 1298 2800

3- 944 3154 942 3156 940 3158 938 3160 937 3159 939 3157 941 3155 943 3153

4-1105 2991 1107 2989 1109 2987 1111 2985 1112 2986 1110 2988 1108 2990 1106 2992

5- 752 3346 750 3348 748 3350 746 3352 745 3351 747 3349 749 3347 751 3345

6-1361 2735 1363 2733 1365 2731 1367 2729 1368 2730 1366 2732 1364 2734 1362 2736

7-1008 3090 1006 3092 1004 3094 1002 3096 1001 3095 1003 3093 1005 3091 1007 3089

8-3537 559 3529 557 3541 555 3543 553 3544 554 3542 556 3540 558 3538 560

9-2928 1170 2926 1172 2924 1174 2922 1176 2921 1175 2923 1173 2925 1171 2927 1169

A-3281 815 3283 813 3285 811 3287 809 3288 810 3286 812 3284 814 3282 816

B-2672 1426 2670 1428 2668 1430 2666 1432 2665 1431 2667 1429 2669 1427 2671 1425

C-3473 623 3475 621 3477 619 3479 617 3480 618 3478 620 3476 622 3474 624

D-2864 1234 2862 1236 2860 1238 2858 1240 2857 1239 2859 1237 2861 1235 2863 1233

E-3217 879 3219 877 3221 875 3223 873 3224 874 3222 876 3220 878 3218 880

F-2608 1490 2606 1492 2604 1494 2602 1496 2601 1495 2603 1493 2605 1491 2607 1489

x=E

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-2560 1538 2558 1540 2556 1542 2554 1544 2553 1543 2555 1541 2557 1539 2559 1537

1-3905 191 3907 189 3909 187 3911 185 3912 186 3910 188 3908 190 3906 192

2-2304 1794 2302 1796 2300 1798 2298 1800 2297 1799 2299 1797 2301 1795 2303 1793

3-3649 447 3651 445 3653 443 3655 441 3656 442 3654 444 3652 446 3650 448

4-2496 1602 2494 1604 2492 1606 2490 1608 2489 1607 2491 1605 2493 1603 2495 1601

5-3841 255 3843 253 3845 251 3847 249 3848 250 3846 252 3844 254 3842 256

6-2240 1858 2238 1860 2236 1862 2234 1864 2233 1863 2235 1861 2237 1859 2239 1857

7-3585 511 3587 509 3589 507 3591 505 3592 506 3590 508 3588 510 3586 512

8- 64 4034 62 4036 60 4038 58 4040 57 4039 59 4037 61 4035 63 4033

9-1665 2431 1667 2429 1669 2427 1671 2425 1672 2426 1670 2428 1668 2430 1666 2432

A- 320 3778 318 3780 316 3782 314 3784 313 3783 315 3781 317 3779 319 3777

B-1921 2175 1923 2173 1925 2171 1927 2169 1928 2170 1926 2172 1924 2174 1922 2176

C- 128 3970 126 3972 124 3974 122 3976 121 3975 123 3973 125 3971 127 3969

D-1729 2367 1731 2365 1733 2363 1735 2361 1736 2362 1734 2364 1732 2366 1730 2368

E- 384 3714 382 3716 380 3718 378 3720 377 3719 379 3717 381 3715 383 3713

F-1985 2111 1987 2109 1989 2107 1991 2105 1992 2106 1990 2108 1988 2110 1986 2112

x=F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-1025 3071 1027 3069 1029 3067 1031 3065 1032 3066 1030 3068 1028 3070 1026 3072

1- 704 3394 702 3396 700 3398 698 3400 697 3399 699 3397 701 3395 703 3393

2-1281 2815 1283 2813 1285 2811 1287 2809 1288 2810 1286 2812 1284 2814 1282 2816

3- 960 3138 958 3140 956 3142 954 3144 953 3143 955 3141 957 3139 959 3137

4-1089 3007 1091 3005 1093 3003 1095 3001 1096 3002 1094 3004 1092 3006 1090 3008

5- 768 3330 766 3332 764 3334 762 3336 761 3335 763 3333 765 3331 767 3329

6-1345 2751 1347 2749 1349 2747 1351 2745 1352 2746 1350 2748 1348 2750 1346 2752

7-1024 3074 1022 3076 1020 3078 1018 3080 1017 3079 1019 3077 1021 3075 1023 3073

8-3521 575 3523 573 3525 571 3527 569 3528 570 3526 572 3524 574 3522 576

9-2944 1154 2942 1156 2940 1158 2938 1160 2937 1159 2939 1157 2941 1155 2943 1153

A-3265 831 3267 829 3269 827 3271 825 3272 826 3270 828 3268 830 3266 832

B-2688 1410 2686 1412 2684 1414 2682 1416 2681 1415 2683 1413 2685 1411 2687 1409

C-3457 639 3459 637 3461 635 3463 633 3464 634 3462 636 3460 638 3458 640

D-2880 1218 2878 1220 2876 1222 2874 1224 2873 1223 2875 1221 2877 1219 2879 1217

E-3201 895 3203 893 3205 891 3207 889 3208 890 3206 892 3204 894 3202 896

F-2624 1474 2622 1476 2620 1478 2618 1480 2617 1479 2619 1477 2621 1475 2623 1473

Les 16 étages de la tranche horizontale sont maintenant visibles.

Une dernière "figure" pour cloturer ce chapitre, n'importe quel carré de coté 4 comprenant 16

cases a pour somme la constante magique.

Posté par ZHONGGUO à 18:43 - Commentaires […] - Permalien [#]

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4 mars 2007

Etages suivants

x=4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-2536 1562 2534 1564 2532 1566 2530 1568 2529 1567 2531 1565 2533 1563 2335 1561

1-3929 167 3931 165 3933 163 3935 161 3936 162 3934 164 3932 166 3930 168

2-2280 1818 2278 1820 2276 1822 2274 1824 2273 1823 2275 1821 2277 1819 2279 1817

3-3673 423 3675 421 3677 419 3679 417 3680 418 3678 420 3676 422 3674 424

4-2472 1626 2470 1628 2468 1630 2466 1632 2465 1631 2467 1629 2469 1627 2471 1625

5-3865 231 3867 229 3869 227 3871 225 3872 226 3870 228 3868 230 3866 232

6-2216 1882 2214 1884 2212 1886 2210 1888 2209 1887 2211 1885 2213 1883 2215 1881

7-3609 487 3611 485 3613 483 3615 481 3616 482 3614 484 3612 486 3610 488

8- 40 4058 38 4060 36 4062 34 1064 33 4063 35 4061 37 4059 39 4057

9-1689 2407 1691 2405 1693 2403 1995 2401 1696 2402 1694 2404 1692 2406 1690 2408

A- 296 3802 294 3804 292 3806 290 3808 289 3807 291 3805 293 3803 295 3801

B-1945 2151 1947 2149 1949 2147 1951 2145 1952 2146 1950 2148 1948 2150 1946 2152

C- 104 3994 102 3996 100 3998 98 4000 97 3999 99 3997 101 3995 103 3993

D-1753 3343 1755 2341 1757 2339 1759 2337 1760 2338 1758 2340 1756 2342 1754 2344

E- 360 3738 358 3740 356 3742 354 3744 353 3743 355 3741 357 3739 359 3737

F-2009 2087 2011 2085 2013 2083 2015 2081 2016 2082 2014 2084 2012 2086 2010 2088

x=5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-1049 3047 1051 3045 1053 3043 1055 3041 1056 3042 1054 3044 1052 3046 1050 3048

1- 680 3418 678 3420 676 3422 674 3424 673 3423 675 3421 677 3419 679 3417

2-1305 2791 1307 2789 1309 2787 1311 2785 1312 2786 1310 2788 1308 2790 1306 2792

3- 936 3162 934 3164 932 3166 930 3168 929 3167 931 3165 933 3163 935 3161

4-1113 2983 1115 2981 1117 2979 1119 2977 1120 2978 1118 2980 1116 2982 1114 2984

5- 744 3354 742 3356 740 3358 738 3360 737 3359 739 3357 741 3355 743 3353

6-1369 2727 1371 2725 1373 2723 1375 2721 1376 2722 1374 2724 1372 2726 1370 2728

7-1000 3098 998 3100 996 3102 994 3104 993 3103 995 3101 997 3099 999 3097

8-3545 551 3547 549 3549 547 3551 545 3552 546 3550 548 3548 550 3546 552

9-2920 1178 2918 1180 2916 1182 2914 1184 2913 1183 2915 1181 2917 1179 2919 1177

A-3289 807 3291 805 3293 803 3295 801 3296 802 3294 804 3292 806 3290 808

B-2664 1434 2662 1436 2660 1438 2658 1440 2657 1439 2659 1437 2661 1435 2663 1433

C-3481 615 3483 613 3485 611 3487 609 3488 610 3486 612 3484 614 3482 616

D-2856 1242 2854 1244 2852 1246 2850 1248 2849 1247 2851 1245 2853 1243 2855 1241

E-3225 871 3227 869 3229 867 3231 865 3232 866 3230 868 3228 870 3226 872

F-2600 1498 2598 1500 2596 1502 2594 1504 2593 1503 2595 1501 2597 1499 2599 1497

x=6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-2552 1546 2550 1548 2548 1550 2546 1552 2545 1551 2547 1549 2549 1547 2551 1545

1-3913 183 3915 181 3917 179 3919 177 3920 178 3918 180 3916 182 3914 184

2-2296 1802 2294 1804 2292 1806 2290 1808 2289 1807 2291 1805 2293 1803 2295 1801

3-3657 439 3659 437 3661 435 3663 433 3664 434 3662 436 3660 438 3658 440

4-2488 1610 2486 1612 2484 1614 2482 1616 2481 1615 2483 1613 2485 1611 2487 1609

5-3849 247 3851 245 3853 243 3855 241 3856 242 3854 244 3852 246 3850 248

6-2232 1866 2230 1868 2228 1870 2226 1872 2225 1871 2227 1869 2229 1867 2231 1865

7-3593 503 3595 501 3597 499 3599 497 3600 498 3598 500 3596 502 3594 504

8- 56 4042 54 4044 52 4046 50 4048 49 4047 51 4045 53 4043 55 4041

9-1673 2423 1675 2421 1677 2419 1679 2417 1680 2418 1678 2420 1676 2422 1674 2424

A- 312 3786 310 3788 308 3790 306 3792 305 3791 307 3789 309 3787 311 3785

B-1929 2167 1931 2165 1933 2163 1935 2161 1936 2162 1934 2164 1932 2166 1930 2168

C- 120 3978 118 3980 116 3982 114 3984 113 3983 115 3981 117 3979 119 3977

D-1737 2359 1739 2357 1741 2355 1743 2353 1744 2354 1742 2356 1740 2358 1738 2360

E- 376 3722 374 3724 372 3726 370 3728 369 3727 371 3725 373 3723 375 3721

F-1993 2103 1995 2101 1997 2099 1999 2097 2000 2098 1998 2100 1996 2102 1994 2104

x=7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-1033 3063 1035 3061 1037 3059 1039 3057 1040 3058 1038 3060 1036 3062 1034 3064

1- 696 3402 694 3404 692 3406 690 3408 689 3407 691 3405 693 3403 695 3401

2-1289 2807 1291 2805 1293 2803 1295 2801 1296 2802 1294 2804 1292 2806 1290 2808

3- 952 3146 950 3148 948 3150 946 3152 945 3151 947 3149 949 3147 951 3145

4-1097 2999 1099 2997 1101 2995 1103 2993 1104 2994 1102 2996 1100 2998 1098 3000

5- 760 3338 758 3340 756 3342 754 3344 753 3343 755 3341 757 3339 759 3337

6-1353 2743 1355 2741 1357 2739 1359 2737 1360 2738 1358 2740 1356 2742 1354 2744

7-1016 3082 1014 3084 1012 3086 1010 3088 1009 3087 1011 3085 1013 3083 1015 3081

8-3529 567 3531 565 3533 563 3535 561 3536 562 3534 564 3532 566 3530 568

9-2936 1162 2934 1164 2932 1166 2930 1168 2929 1167 2931 1165 2933 1163 2935 1161

A-3273 823 3275 821 3277 819 3279 817 3280 818 3278 820 3276 822 3274 824

B-2680 1418 2678 1420 2676 1422 2674 1424 2673 1423 2675 1421 2677 1419 2679 1417

C-3465 631 3467 629 3469 627 3471 625 3472 626 3470 628 3468 630 3466 632

D-2872 1226 2870 1228 2868 1230 2866 1232 2865 1231 2867 1229 2869 1227 2871 1225

E-3209 887 3211 885 3213 883 3215 881 3216 882 3214 884 3212 886 3210 888

F-2616 1482 2614 1484 2612 1486 2610 1488 2609 1487 2611 1485 2613 1483 2615 1481

Remarque: La moitié des étages sont maintenant visibles, essayons de faire le total des piles.

Prenont la pile 0, additionnons les nombres:

4096+513+4080+529+25436+1049+2552+1033=16388

Or ce total est la moitié de la somme totale, qui est de 32776!

Ce qui montre que le cube est "équilibré". Essayez pour les autres piles.

x=8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-4088 10 4086 12 4084 14 4082 16 4081 15 4083 13 4085 11 4087 9

1-2377 1719 2379 1717 2381 1715 2383 1713 2384 1714 2382 1716 2380 1718 2378 1720

2-3832 266 3830 268 3828 270 3826 272 3825 271 3827 269 3829 267 3831 265

3-2121 1975 2123 1973 2125 1971 2127 1969 2128 1970 2126 1972 2124 1974 2122 1976

4-4024 74 4022 76 4020 78 4018 80 4017 79 4019 77 4021 75 4023 73

5-2313 1783 2315 1781 2317 1779 2319 1777 2320 1778 2318 1780 2316 1782 2314 1784

6-3768 330 3766 332 3764 334 3762 336 3761 335 3763 333 3765 331 3767 329

7-2057 2039 2059 2037 2061 2035 2063 2033 2064 2034 2062 2036 2060 2038 2058 2040

8-1592 2506 1590 2508 1588 2510 1586 2512 1585 2511 1587 2509 1589 2507 1591 2505

9- 137 3959 139 3957 141 3955 143 3953 144 3954 142 3956 140 3958 138 3960

A-1848 2250 1846 2252 1844 2254 1842 2256 1841 2255 1843 2253 1845 2251 1847 2249

B- 393 3703 395 3701 397 3699 399 3697 400 3698 398 3700 396 3702 394 3704

C-1656 2442 1654 2444 1652 2446 1650 2448 1649 2447 1651 2445 1653 24431655 2441

D- 201 3895 203 3893 205 3891 207 3889 208 2890 206 3892 204 3894 202 3896

E-1912 2186 1910 2188 1908 2190 1906 2192 1905 2191 1907 2189 1909 2187 1911 2185

F- 457 3639 459 3637 461 3635 463 3633 464 3634 462 3636 460 3638 458 3640

x=9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0- 521 3575 523 3753 525 3571 527 3569 528 3570 526 3672 524 3574 522 3576

1-1208 2890 1206 2892 1204 2894 1202 2896 1201 2895 1203 2893 1205 2891 1207 2889

2- 777 3319 779 3317 781 3315 783 3313 784 3314 782 3316 780 3318 778 3320

3-1464 2634 1462 2636 1460 2638 1458 2640 1457 2639 1459 2637 1461 2635 1463 2633

4- 585 3511 587 3509 589 3507 591 3505 592 3506 590 3508 588 3510 586 3512

5-1272 2826 1270 2828 1268 2830 1266 2832 1265 2831 1267 2829 1269 2827 1271 2825

6- 841 3255 843 3253 845 3251 847 3249 848 3250 846 3252 844 3254 842 3256

7-1528 2570 1526 2572 1524 2574 1522 2576 1521 2575 1523 2573 1525 2571 1527 2569

8-3017 1079 3019 1077 3021 1075 3023 1073 3024 1074 3022 1076 3020 1078 3018 1080

9-3448 650 3446 652 3444 654 3442 656 3441 655 3443 653 3445 651 3447 649

A-2761 1335 2763 1333 2765 1331 2767 1329 2768 1330 2766 1332 2764 1334 2762 1336

B-3192 906 3190 908 3188 910 3186 912 3185 911 3187 909 3189 907 3191 905

C-2953 1143 2955 1141 2957 1139 2959 1137 2960 1138 2958 1140 2956 1142 2954 1144

D-3384 714 3382 716 3380 718 3378 720 3377 719 3379 717 3381 715 3383 713

E-2697 1399 2699 1397 2701 1395 2703 1393 2704 1394 2702 1396 2700 1398 2698 1400

F-3128 970 3126 972 3124 974 3122 976 3121 975 3123 973 3125 971 3127 969

x=A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-4072 26 4070 28 4068 30 4066 32 4065 31 4067 29 4069 27 4071 25

1-2393 1703 2395 1701 2397 1699 2399 1697 2400 1698 2398 1700 2396 1702 2394 1704

2-3816 282 3814 284 3812 286 3810 288 3809 287 3811 285 3813 283 3815 281

3-2137 1959 2139 1957 2141 1955 2143 1953 2144 1954 2142 1956 2140 1958 2138 1960

4-4008 90 4006 92 4004 94 4002 96 4001 95 4003 93 4005 91 4007 89

5-2329 1767 2331 1765 23331763 2335 1761 2336 1762 2334 1764 2332 1766 23301768

6-3752 346 3750 348 3748 350 3746 352 3745 351 3747 349 3749 347 3751 345

7-2073 2023 2075 2021 2077 2019 2079 2017 2080 2018 2078 2020 2076 2022 2074 2024

8-1576 2522 1574 2524 1572 2526 1570 2528 1569 2527 1571 2525 1573 2523 1575 2521

9- 153 3943 155 3941 157 3939 159 3937 160 3938 158 3940 156 3942 154 3944

A-1832 2266 1830 2268 1828 2270 1826 22721825 2271 1827 2269 1829 2267 1831 2265

B-409 3687 411 3685 413 3683 415 3681 416 3682 414 3684 412 3686 410 3688

C-1640 2458 1638 2460 1636 2462 1634 2464 1633 2463 1635 2461 1637 2459 1639 2457

D- 217 3879 219 3877 221 3875 223 3873 224 3874 222 3876 220 3878 218 3880

E-1896 2202 1894 2204 1892 2206 1890 2208 1889 2207 1891 2205 1893 2203 1895 2201

F- 473 3623 475 3621 477 3619 479 3617 480 3618 478 3620 476 3622 474 3624

Posté par ZHONGGUO à 18:40 - Commentaires […] - Permalien [#]

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4 mars 2007

Explications

Un cube aux propriétés étonnantes...

Chers amis, bonjour!

Vous allez faire connaissance avec le cube 16x16x16.

Peut-être les amateurs du Rubik's cube seront déçus, ce n'est pas un Rubik's cube!

Mais nous allons le présenter à l'aide de celui-ci pour faciliter les choses, car nous sommes

en 3D! D'abord, première question, combien de cubes élémentaires contient notre objet?

Il en contient 16³ (ce lit "16 puissance 3", soit 16x16x16, d'ou 4096 cubes).

Bien sur, un Rubik's cube contient moins de cubes, les cubes "invisibles", sont remplacés par le mécanisme qui les tient. Maintenant imaginez que chaque cube élémentaire contient

un nombre. Peut importe quel sera ce nombre. Toujours est-il que le cube entier contiendra tous les nombres de 1 à 4096, sans lacune ni répétition.

Maintenant, additionnons les nombres qui se trouvent dans chaque rangée.

Deuxième question : combien y-a-t'il de rangées. Le problème semble très compliqué!

Pour ne pas en oublier, nous allons "découper" (par la pensée) ce cube.

Ce cube est de dimension 16, ce qui veux dire que par "dimension", il y a 16 "tranches",

ou "étage", comme vous voudrez. Donc en "aplatissant" chaque tranche, nous aurons

48 "carrés". Dans chaque carré, il y a 16 rangées horizontales et 16 rangées verticales.

Il suffit de faire le produit de tous ces chifffres.

Pour la suite des explications, nous ajouterons une question subsidiaire.

Combien y-a-t'il de façon d'orienter ce cube?

Désignons n'importe quelle face H (face haute). Le raisonnement est le même pour toute

autre choix. La face opposée est forcément la face B (face basse)

Donc ce nombre sera multiple de 6. Restent les 4 autres faces D (droite), G (gauche),

A (antérieure), P (postèrieure) , notations les plus employées dans le Rubik's cube pour

éviter les "doublons", Droit, Devant, Derrière, et Avant, Arrière, etc...

Donc 4 possibilités, soit au total 24 façons. Cette notion sera importante par la suite.

Donc revenons à nos additions. Parmi ces centaines de résultats, toute les chances d'avoir des résultats différents. Maintenant demandons à un "speedcubiste" de tourner ce

cube. Aprés des centaines de rotations, reprenont nos additions. Un miracle a eu lieu.

Toutes les additions sont égales!

Cette fois, ce sont les amateurs de carrés magiques qui seront déçus! Ils savent que pour

que le cube soit "magique", il faut également que les sommes des nombres contenus dans

les diagonales soient également constantes. Il y a 48 carrés, d'ou 96 diagonales.

Or elles sont différentes. Mais...pour calmer leur dépit, la somme des 2 diagonales d'un

même carré est contante, et égale au double de la somme des rangées.

Et en prime, la somme des 4 diagonales principales est constante et égale à celle des

rangées. Alors, ils vont penser "vivement un champion du calcul qui leur concocte un

cube magique".Mais dévoilons leur un "bonus".

Maintenant dans chacun des 48 carrés, découpons un carré élémentaire 2x2 de 4 cellules. Calculons leur somme. Notons la. Maintenant, dans n'importe quelle tranche (il y en a 48), dans n'importe quel carré élémentaire, la somme sera constante.

Les "férus" de carrés magiques auront reconnus les fameux carré type "Benjamin Franklin"

du nom de son inventeur, qui a créé, le premier, ce type de carré. Mais ceux-ci vont

remarquer que ces carrés étaient magiques! Alors répondons par l'adage "boire ou

conduir, il faut choisir. Soit on génére un cube magique, soit on génére un cube type

"Benjamin Franklin". Les deux sont incompatibles! Pour les "sceptiques", la démonstration

sera faite plus loin. Rassurez-vous, point n'est besoin d'avoir le niveau "math sup" ou

"math spé". Un niveau "débutant" en algèbre est largement suffisant.

Maintenant, assez de bavardage! Passons aux choses sérieuses. Ce laîus n'était fait que

pour se mettre en condition, un simple échauffement.

Pour commencer, une petite formule toute simple. Elle permet de calculer a somme des

N premiers nombres entiers et conséctifs.

X=Nx(N+1)/2.

Prenons une application numérique:

X=1+2+3+4+5=15

X=5x(5+1)/2=5x6/2=5x3=15

Maintenant, cette formule va nous permettre de calculer la somme de tous les chiffres

contenus dans le cube. Rassurez-vous, vous n'aurez pas à la dénombrer.

Calculons le nombre rangées. Mais cette fois, sans leur combinaison.

Il y a n rangées dans chaque "carré", il y a n carrés.

Il suffit de remplacer N par n³ et pour trouver la somme dans chaque rangée diviser par

n², soit

C=(n³x(n³+1)/2)/n²=nx(n³+1)/2

d'ou pour n=16

C=16x(16³+1)/2=8x(4096+1)=8x4097=32776

La constante qui manque est le double de la rangée, qui caractérise chaque diagonale.

D=2xC=nx(n³+1)=32776x2=65552

Reste à calculer la somme des carrés.

Comme ces carrés font deux "cellules", il faut prendre la somme de deux rangées qui est

égale à D. Il y a donc n/2 carrés distinctes, ce qui fait

S=(nx(n³+1))/(n/2)=2x(n³+1)

soit pour n=16

S=2x(16³+1)=2x(4096+1)=2x4097=8194

Maintenant, le lecteur n'a plus qu'une envie, de remplir ce fameux cube des "nombres

magiques", mais avec une certaine crainte. Remplir sans se tromper 4096 cases est une

prouesse, à moins d'y passer une journée.

Nous allons "conjoncturer" qu'il ne suffit que d'une poignée de chiffres à taper et au plus

une demi-heure de travail. Prets à parier!

En avant pour la démonstration...

Il est nécessaire de caractériser chaque cellule. Le meilleur moyen est d'utiliser une

variable d'espace, donc de forme Pxyz.

P désignera le "point", x, y, z les coordonnées, qui prendront 16 valeurs.

Au lieu de leur attribuer les valeurs de 1 à 16, nous choisirons celles qui vont de 0 à 15.

Pour le moment, vous n'en voyez aucun avantage.

Pour les "matheux", rappelons que l'on utilise le système à base 10. Pourquoi 10?

Parce qu'on a l'habitude de compter sur ses doigts? Ce n'est pas tout à fait une

définition "mathématique". Plus sérieusement parce que ce système utilise 10 symboles

de 0 à 9. Nous allons "passer" en système à base 16. Il faut donc 16 symboles.

Manque de chance, nous n'en avons que 10 à notre disposition. Mais ceux-ci vont

ricaner. Ce système est bien connu des informaticiens. C'est le système hexadécimal.

Les 6 symboles "manquants", sont les 6 premières lettres de l'alphabet, en majuscules,

avec les valeurs A=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F= 15.

L'avantage? Un seul caractère par valeur, d'ou les points extrèmes seront P000, PFFF.

Maintenant, visualisont la première "tranche".

P000 P001 P002...................P00F

P010 P011 P012...................P01F

..............................................

P0F0 P0F1 P0F2...................P0FF

Notre premier carré est constitué par P000 P001 P010 P011, d'ou

P000+P001+P010+P011=S

S est connue. Supposons que tous les éléments de la première ligne et de la première

colonne soient connus.

P000, P001, P010 sont connus, il ne reste qu'une inconnue, donc P011peut être

déterminé.

Passons au carré suivant. Nous rapppelons que chaque carré à la même somme.

"n'importe quel carré", même s'ils ont des éléments en commun! D'ou

P001+P002+P011+P012=S

P001, P002, P011 sont connus, ne reste que P012 donc il est déterminé.

En poursuivant le raisonnement, la deuxième ligne est connue.

En orientant le cube différemment, la première colonne est donc connue, etc..

D'ou tous les nombres de la première tranche sont connus.

En orientant le cube différemment, les autres tranches sont connues. En effet, le cube

n'a pas d'orientation particulière.

Qu'est-ce qui va remplacer la ligne et la colonne, c'est la troisième variable, la "colonne

verticale", plus communément appelée "pile".

Combien est-il nécessaire de disposer de varables connues? Autant que de nombres sur

les 3 axes, soit "l'origine", qui est commune aux 3 axes et les 15 autres restant, soit

3x15+1=45+1=46 variables. Ces variables qui générent le cube seront appelées les

"générateurs".

Voici leur liste:

P000 P001 P002 P003 P004 P005 P006 P007 P008 P009 P00A P00B P00C P00D P00E P00F

" P010 P020 P030 P040 P050 P060 P070 P080 P090 P0A0 P0B0 P0C0 P0D0 P0E0 P0F0

" P100 P200 P300 P400 P500 P600 P700 P800 P900 PA00 PB00 PC00 PD00 PE00 PF00

Ces "générateurs" sont de formule générale P000, P00z, P0y0, Px00 soit au moins deux "0"

tous les autres nombres "générés" sont de la forme Pxyz, P0yz, Px0z, Pxy0 soit au plus

un "0".

En résumé, n'importe quel point n'est fonction que de S et des 46 "générateurs".

Il en résulte que toute combinaison de ses points n'est fonction que de ceux-ci....

et en particulier leurs sommes, donc...nos fameuses diagonales.

Nous tenons donc notre démonstration!

Rappeez-vous vos débuts en algébre, quand fiers comme Artaban,vous faisiez savoir aux

"petits" que vous maitrisiez tous ces signes cabalistiques.

Dans un système de m équations à n inconnues, 3 cas peuvent se rencontrer:

n=m le système est pafaitement déterminé.

n>m le sysème est indéterminé

n<m le système est impossible

Or ici pour que les diagonales soient égales, il faut et il suffit qu'elles soient solutions

d'un système de 96 équations à 47 inconnues. Le système est impossible!

Maintenant, comment générer en un temps record ce cube.

Dans un tableur, prévoir 16 grilles par dimension. Garnir la première ligne et la première

colonne. Programmer la fameuse somme. Puis faire la "copie". Le programme va recopier

laformule dans chaque case, en décalant à chaque fois les coordonnées.

Attention! Pour la seconde grille, la troisième,..., programmer d'abord pour obtenir

les nombres des premières ligne et colonne. Un "expert" du tableur devrait générer le

cube en une demi-heure.

Maintenant, certains vont penser, qu'ils peuvent générer un tel cube en choisissant

n'importe quels nombres à condition que leur somme soit égale à la constante calculée.

Essayez! Vous obtiendrez un de ces 3 cas:

1. Les 3 premiers nombres compris dans le carré sont trop petits, le quatrième dépassera

la borne supérieure, soit 4096.

2. Les 3 premiers nombres compris dans le carrés sont trop grands, le quatrième sera

négatif ou nul.

3. Le quatrième nombre convindra...sauf qu'il faudra vérifier qu'il n'y a pas un doublon

ou même un triplet, bref un taux de fécondité non négligeable.

En fait, l'ensemble des nombres posséderont les 3 caractéristiques.

Maintenant, nous allons encore ajouter des "bonus", bien cachés!

Avant de lire la suite, prévoyez des cases supplémentaires pour vérifier les choses

"promises".

Supposons que l'on empile tous ces cubes, les uns au dessus des autres, à droite, à

gauche, en avant, en arrière, pour former un cube nxnxn.

Toutes les propriétés sont conservées!!!!

Par exemple le carré:

P0FF P0F0

P00F P000

Sur les carrés, imaginez que ce soit un motif de papier peint.

Toutes les diagonales vérifiront les égalités définis précedemment.

Vous obtiendrez des "lignes brisées".

La plus belle "figure". Le losange qui joint les milieux des carrés, déroulant un chemin

de 32 cases dont la somme sera D!

Certaines lignes brisées feront même la somme C!

Pour certaines de forme D+k, il fauda chercher la symétrique qui fera D-k.

J'ai parler du Rubik's cube. Certains se demandent pourquoi!

Les "speedcubistes" qui solutionnent le 3x3x3 en 15 secondes, le 4x4x4 en 1 minute, etc

lassés de dérouler toujours le même algorithme, se vengent sur les figures.

Ils obtiennent des "serpents", des "cubes dans les cubes", des "damiers".

Attention, toutes les figures ne sont pas réalisables, et sont fonctions de leur

dimension. La plus difficile est celle ou les 6 couleurs sont sur chaque face.

Comme le Rubik's cube, vous pouvez réaliser des "figures", losanges, serpents,

ou "points isolés", celles-ci résultent par contre de la propriété des "carrés".

Bien que ce cube soit "semi-magique", il posséde beaucoup plus de propriétés

que le cube "magique".

Quand même une précision: Les termes "Rubik's cube", "cube hongrois", "cube magique"

sont des marques "déposées", du nom de son inventeur Erno Rubik.

Le terme "carré de type Benjamin Franklin" et par extension "cube" du même nom

est également une exclusivité de Benjamain Franklin, qui le premier a conçu de tels

carrés.

Pour en revenir à la littérature, les carrés magiques ont perdus de leur intéret.

Des livres entiers y sont consacrés, avec les méthodes de conception.

N'importe qui peut en concevoir en suivant les directives.

Mieux, avec l'avénement de la microinformatique, et l'augmentation de la capacité

et de la vitesse d'éxecution des portables, des programmes "clés en main", permettent

d'en générer d'un ordre avoisinant 1000, et de les imprimer rapidement, car les

imprimantes ont suivi aussi ce progrès.

Concernant les cubes, la littérature est très pauvre, avec souvent la mention

"l'étude des cubes sort du cadre de cet ouvrage".

Donc pour ce début, laissons le temps aux intéressés de programmer leur tableur.

Cet exposé est-il un bluff ou non. Une chance sur deux de ce tromper dans les paris.

J'attends quelques commentaires.

A vos maths! Prêts! Partez!

Donc comme promis je vous indique les 46 générateurs qui vont donner naissance au cube

4096 2 4094 4 4092 6 4090 8 4089 7 4091 5 4093 3 4095 1

4096 2369 3840 2113 4032 2305 3776 2049 1600 129 1856 385 1664 193 1920 449

4096 513 4080 529 2536 1049 2552 1033 4088 521 4072 537 2544 1041 2560 1025

Nous remarquons tout de suite que pour la première ligne la disposition des nombres est

caractéristique:

En fait, si le cube n'a pas d'orientation particulière, il y a tout de même une "orientation

privilégiée", qui est celle de la conception du cube.

Les 16 nobres se partagent en deux séries, qui sont:

1 2 3 4 5 6 7 8 et 4089 4090 4091 4092 4093 4094 4095 4096.

Ce sont des suites de 8 chiffres consécutives. Nous remarquons également que les deux chiffres extrèmes 1 et 4096 sont présents dans cette ligne.

En fait toutes les lignes dans cette orientation particulière seront du même type.

Donc en fait, les 4096 seront réparties en 4096/8=512 "blocs" qui seront combinés 2 par

2, or 512/2=256 qui sera égal à 16x16 soit 16 lignesx16 tranches!! CQFD.

En appelant p le minimum de la plus petite suite et q le minimum de la plus grande suite,

nous aurons la configuration pour la première ligne:

q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

La somme fait 8X(p+q+7)

avec p=1 et q=4089 nous obtenons 8x(1+4089+7)=8x4097=32776

Cela ne vous rappelle rien, c'est exactement le produit pour le calcul de la constante.

Maintenant, donnont un aperçu des étages:

x=0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-4096 2 4094 4 4092 6 4090 8 4089 7 4091 5 4093 3 4095 1

1-2369 1727 2371 1725 2373 1723 2375 1721 2376 1722 2374 1724 2372 1726 2370 1728

2-3840 258 3838 260 3836 262 3834 264 3833 263 3835 261 3837 259 3839 257

3-2113 1983 2115 1981 2117 1979 2119 1977 2120 1978 2118 1980 2116 1982 2114 1984

4-4032 66 4030 68 4028 70 4026 72 4025 71 4027 69 4029 67 4031 65

5-2305 1791 2307 1789 2309 1787 2311 1785 2312 1786 2310 1788 2308 1790 2306 1792

6-3776 322 3774 324 3772 326 3770 328 3769 327 3771 325 3773 323 3775 321

7-2049 2047 2051 2045 2053 2043 2055 2041 2056 2042 2054 2044 2052 2046 2050 2048

8-1600 2498 1598 2500 1596 2502 1594 2504 1593 2503 1595 2501 1597 2499 1599 2497

9- 129 3967 131 3965 133 3963 135 3961 136 3962 134 3964 132 3966 130 3968

A-1856 2242 1854 2244 1852 2246 1850 2248 1849 2247 1851 2245 1853 2243 1855 2241

B- 385 3711 387 3709 389 3707 391 3705 392 3706 390 3708 388 3710 386 3712

C-1664 2434 1662 2436 1660 2438 1658 2440 1657 2439 1659 2437 1661 2435 1663 2433

D- 193 3903 195 3901 197 3899 199 3897 200 3898 198 3900 196 3902 194 3904

E-1920 2178 1918 2180 1916 2182 1914 2184 1913 2183 1915 2181 1917 2179 1919 2177

F- 449 3647 451 3645 453 3643 455 3641 456 3642 454 3644 452 3646 450 3648

x=1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0- 513 3583 515 3581 517 3579 519 3577 520 3578 518 3580 516 3582 514 3584

1-1216 2882 1214 2884 1212 2886 1210 2888 1209 2887 1211 2885 1213 2883 1215 2881

2- 769 3327 771 3325 773 3323 775 3321 776 3322 774 3324 772 3326 770 3328

3-1472 2626 1470 2628 1468 2630 1466 2632 1465 2631 1467 2629 1469 2627 1471 2625

4- 577 3519 579 3517 581 3515 583 3513 584 3514 582 3516 580 3518 578 3520

5-1280 2818 1278 2820 1276 2822 1274 2824 1273 2823 1275 2821 1277 2819 1279 2817

6- 833 3263 835 3261 837 3259 839 3257 840 3258 838 3260 836 3262 834 3264

7-1536 2562 1534 2564 1532 2566 1530 2568 1529 2567 1531 2565 1533 2563 1535 2561

8-3009 1087 3011 1085 3013 1083 3015 1081 3016 1082 3014 1084 3012 1086 3010 1088

9-3456 642 3454 644 3452 646 3450 648 3449 647 3451 645 3453 643 3455 641

A-2753 1343 2755 1341 2757 1339 2759 1337 2760 1338 2758 1340 2756 1342 2754 1344

B-3200 898 3198 900 3196 902 3194 904 3193 903 3195 901 3197 899 3199 897

C-2945 1151 2947 1149 2949 1147 2951 1145 2952 1146 2950 1148 2948 1150 2946 1152

D-3392 706 3390 708 3388 710 3386 712 3385 711 3387 709 3389 707 3391 705

E-2689 1407 2691 1405 2693 1403 2695 1401 2696 1402 2694 1404 2692 1406 2690 1408

F-3136 962 3134 964 3132 966 3130 968 3129 967 3131 965 3133 963 3135 961

x=2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-4080 18 4078 20 4076 22 4074 24 4073 23 4075 21 4077 19 4079 17

1-2385 1711 2387 1709 2389 1707 2391 1705 2392 1706 2390 1708 2388 1710 2386 1712

2-3824 274 3822 276 3820 278 3818 280 3817 279 3819 277 3821 275 3823 273

3-2129 1967 2131 1965 2133 1963 2135 1961 2136 1962 2134 1964 2132 1966 2130 1968

4-4016 82 4014 84 4012 86 4010 88 4009 87 4011 85 4013 83 4015 81

5-2321 1775 2323 1773 2325 1771 2327 1769 2328 1770 2326 1772 2324 1774 2322 1776

6-3760 338 3758 340 3756 342 3754 344 3753 343 3755 341 3757 339 3759 337

7-2065 2031 2067 2029 2069 2027 2071 2025 2072 2026 2070 2028 2068 2030 2066 2032

8-1584 2514 1582 2516 1580 2518 1578 2520 1577 2519 1579 2517 1581 2515 1583 2513

9- 145 3951 147 3949 149 3947 151 3945 152 3946 150 3948 148 3950 146 3952

A-1840 2258 1838 2260 1836 2262 1834 2264 1833 2263 1835 2261 1837 2259 1839 2257

B- 401 3695 403 3693 405 3691 407 3689 408 3690 406 3692 404 3694 402 3696

C-1648 2450 1646 2452 1644 2454 1642 2456 1641 2455 1643 2453 1645 2451 1647 2449

D- 209 3887 211 3885 213 3883 215 3881 216 3882 214 3884 212 3886 210 3888

E-1904 2194 1902 2196 1900 2198 1898 2200 1897 2199 1899 2197 1901 2195 1903 2193

F- 465 3631 467 3629 469 3627 471 3625 472 3626 470 3628 468 3630 466 3632

x=3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0- 529 3567 531 3565 533 3563 535 3561 536 3562 534 3564 532 3566 530 3568

1-1200 2898 1198 2900 1196 2902 1194 2904 1193 2903 1195 2901 1197 2899 1199 2897

2- 785 3311 787 3309 789 3307 791 3305 792 3306 790 3308 788 3310 786 3312

3-1456 2642 1454 2644 1452 2646 1450 2648 1449 2677 1451 2645 1453 2643 1455 2641

4- 593 3503 595 3501 597 3499 599 3497 600 3498 598 3500 596 3502 594 3504

5-1264 2834 1262 2836 1260 2838 1258 2840 1257 2839 1259 2837 1261 2835 1263 2833

6- 849 3247 851 3245 853 3243 855 3241 856 3242 854 3244 852 3246 850 3248

7-1520 2578 1518 2580 1516 2582 1514 2584 1513 2583 1515 2581 1517 2579 1519 2577

8-3025 1071 3027 1069 3029 1067 3031 1065 3022 1066 3030 1068 3028 1070 3026 1072

9-3440 658 3438 660 3436 662 3434 664 3433 663 3435 661 3437 659 3439 657

A-2769 1327 2771 1325 2773 1323 2775 1321 2776 1322 2774 1234 2772 1326 2770 1328

B-3184 914 3182 916 3180 918 3178 920 3177 919 3179 917 3181 915 3183 913

C-2961 1135 2963 1133 2965 1131 2967 1129 2968 1130 2966 1132 2964 1134 2962 1136

D-3376 722 3374 724 3372 726 3370 728 3369 727 3371 725 3373 723 3375 721

E-2705 1391 2707 1389 2709 1387 2711 1385 2712 1386 2710 1388 2708 1390 2706 1392

F-3120 978 3118 980 3116 982 3114 984 3113 983 3115 981 3117 979 3119 977

EXPLICATIONS

Il n'y a que 4 types de lignes dans le cube, appelons les de type a, b, c, d.

Soit p le minimum de la série la plus petite et q le minimum de la plus grande.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

a q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

b q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7

c p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7 p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q

d p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7

Pour les étages pairs (0, 2, 4, 6, 8, A, C, E), devant chaque type les lignes :

a 0, 2, 4, 6

b 1, 3, 5, 7

c 8, A, C, E

d 9, B, D, F

Pour les étages impairs (1, 3, 5, 7, 9, B, D, F), devant chaque type de lignes :

d 0, 2, 4, 6

c 1, 3, 5, 7

b 8, A, C, E

a 9, B, D, F

D'ou pour les étages pairs :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-a q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

1-b q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7

2-a q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

3-b q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7

4-a q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

5-b q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7

6-a q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

7-b q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7

8-c p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7 p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q

9-d p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7

A-c p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7 p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q

B-d p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7

C-c p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7 p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q

D-d p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7

E-c p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7 p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q

F-d p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7

Pour les étages impairs:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0-d p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7

1-c p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7 p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q

2-d p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7

3-c p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7 p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q

4-d p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7

5-c p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7 p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q

6-d p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7

7-c p+7 q+1 p+5 q+3 p+3 q+5 p+1 q+7 p q+6 p+2 q+4 p+4 q+2 p+6 q

8-b q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7

9-a q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

A-b q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7

B-a q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

C-b q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7

D-a q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

E-b q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7

F-a q+7 p+1 q+5 p+3 q+3 p+5 q+1 p+7 q p+6 q+2 p+4 q+4 p+2 q+6 p

Maintenant additionnons les termes contenus dans les lignes:

Il y a le même nombre de p que de q quelque soit le type de ligne.

Pour les chiffres, il y a 2 fois les chiffres de 0 a 7 consécutifs.

La somme est donc 2x((7+8)/2)=7x8

Donc le total fait 8x(p+q+7)

Pour que le total fasse 32776, que l'on peut écrire 8x4097, il suffit que

p+q+7=4097 soit p+q=4090

Donc au lieu de calculer la somme des 16 nombres compris dans chaque ligne, il suffit

de déterminer le type de la ligne, de repérer p et q et de les additionner.

Exemple pour le plan 0 et la ligne 0 p=1, q=4089, d'ou p+q=4090.

Pas besoin d'un ordinateur, même pas d'une calculette, la somme se fait de tête!

Pour la suivante, 1721+2369=4090 etc...

Pour nos carrés, n'importe carré contient 2 fois p et 2 fois q. Comme la somme de p+q

dans chaque ligne est constante, la somme des p et q est constante.

Restent les termes contants.Ils font toujours 14.

D'ou la somme s'écrit 2x(p+q+7). La valeur numérique calculée est 8194 soit 2x4097.

Soit p+q+7=4097, soit p+q=4090. Le mêm résultat que pour les lignes!!!

Il est donc sûr que la somme des carrés est constante.

Pour la somme des diagonales, ont obtient la même somme que pour les lignes, soit

8x(p+q+7).

Un raisonnement trop hâtif confirmerait que les diagonales sont magiques.

Mais, par exemple pour les 2 premiers termes P000, P011, p et q font partie de 2 lignes

différentes! Tandis qu'en additionnant les 2 diagonales d'un même carré 16x16, la somme

devient 16x(p+q+7). Mais les 2 diagonales contiennent toujours un couple p et q.

Donc leur somme est constante, donc...la somme de deux diaonales est constante et

égale au double de la constante magique.

Pour la somme des colonnes, nous obtenons toujours la même expression, soit

8x(p+q+7).Il faut et il suffit que p+q=4090.

Comme les expressions sont les mêmes, quel que soit la colonne, pour vérifier tout le

carré 16x16, il suffit de vérifier pour la première colonne, par exemple.

Maintenant une question subsidiaire. De quelle forme sont p et q?

Leur forme est la même. Soustrayons 1 de p et q, soit p'=p-1 et q'=q-1.

Alors p' et q' sont multiples de 8! D'ou p'=8xp'' et q'=8xq''.

Exemple pour 1, nous obtenons 0, par définition est multiple de 8, puisque 16-8=8, 8-8=0.

4089-1=4088 et 4088=511.

Retirons 8 de la première ligne, au lieu de q+7 on obtient q-1 donc q'.

Pour la seconde ligne, on retire 1, donc on obtient q-1 donc également q'.

On renouvelle les mêmes opérations pour les 8 premières lignes.

Pour p+7, on retire 8, d'ou p-1, soit p'.

Ensuite pour p on retire 1, d'ou p-1, soit également p'.

Le total fera 8x(p'+q'), qui divisé par 8 fera p'+q', soit p-1+q-1=p+q-2=4090-2=4088.

On vérifiera que pour les piles, les calculs restent les mêmes.

De même, ces formules permettront de trouver les "figures", par exemple les carrés 2x2.

P000, P001, P0F0, P0F1. Nous considérons chacun des 48 carrés comme un motif de

papier peint. Quand une ligne, une colonne "déborde", pour trouver son "correspondant"

qui fait partie du carré, il suffit de faire une translation de 16 carrés élémentaires qui le

ramène à l'intérieur de celui-ci. Si le carré est en haut, on le trouvera à la dernière ligne,

et vice versa. S'il est a droite, on le trouvera à gauche et vive versa.

Encore mieux les carrés symétriques par rapport à l'axe de symétrie ou même au centre

de symétrie vérifiront la propriété!

Exemple pour l'étage 0, 4096+1+449+3648=8194

4096+2+449+3647=8194

4096+2369+1+1728=8194

Maintenant essayer le fameux "losange" et vous m'en donnerait des nouvelles!

Il part de 4089, en diagonale vers 2048, passe à 2497 repart vers 456, passe à 3641

repart vers 1600, passe à 2049, puis repart vers 8, bien à coté du 4089.

Il fait le double de la constante magique ou la somme des diagonales du carré.

Puis trouvez les "lignes brisées". Toutes ces figures se répétent sur les 48 carrés 16x16.

Donc à bientôt pour la suite.

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4 mars 2007

Premiers étages

Les carrés magiques type Benjamin Franklin (1706-1790)

1-Exposé de la méthode : Application a un carré d'ordre 8.

On prépare 3 grilles d'ordre 8. On repère les lignes par les lettres A, B, C, ...et les colonnes par les chiffres 1, 2, 3...

On construit le premier carré.

1 2 3 4 5 6 7 8

A 1 2 3 4 5 6 7 8

B 9 10 11 12 13 14 15 16

C 17 18 19 20 21 22 23 24

D 25 26 27 28 29 30 31 32

E 33 34 35 36 37 38 39 40

F 41 42 43 44 45 46 47 48

G 49 50 51 52 53 54 55 56

H 57 58 59 60 61 62 63 64

Dans le second carré, on place les lettresde A à H dans l'ordre dans les cases des lignes impaires,

et dans l'ordre inverse dans les lignes paires.

Puis on place la suite 1, 7, 3, 5 , 5, 3, 7, 1 dans les cases des colonnes impaires, et 8, 2, 6, 4, 4, 6 2, 8 dans les colonnes paires.

On obtient donc:

1 2 3 4 5 6 7 8

A A1 B8 C1 D8 E1 F8 G1 H8

B H7 G2 F7 E2 D7 C2 B7 A2

C A3 B6 C3 D6 E3 F6 G3 H6

D H5 G4 F5 E4 D5 C4 B5 A4

E A5 B4 C5 D4 E5 F4 G5 H4

F H3 G6 F3 E6 D3 C6 B3 A6

G A7 B2 C7 D2 E7 F2 G7 H2

H H1 G8 F1 E8 D1 C8 B1 A8

Dans le troisième carré, on inscrit alors à la place correspondante à chaque case repérée de la deuxième grille, le nombre correspondant au repère du premier carré.

Ainsi à B8 correspond 16, à H2 correspond 58...

1 2 3 4 5 6 7 8

A 1 16 17 32 33 48 49 64

B 63 50 47 34 31 18 15 2

C 3 14 19 30 35 46 51 62

D 61 52 45 36 29 20 13 4

E 5 12 21 28 37 44 53 60

F 59 54 43 38 27 22 11 6

G 7 10 23 26 39 42 55 58

H 57 56 41 40 25 24 9 8

On obtient un carré aux propriétés spéciales.

La somme des termes des lignes et des colonnes est 260.

La somme des deux diagonales est de 520 (260x2)

La somme de 4 termes en carré est égale à 130.

La "spécificité" de ce carré est la dernière propriété.

En effet, dans les carré "classiques", la somme des termes compris dans chaque diagonale est

égale à la somme des termes des lignes et des colonnes. C'est la "constante magique".

Par contre, la dernière "spécificité", n'est jamais réalisée.

Ces carrés de 4 termes sont appelés des carrés "type Benjamin Franklin", du nom de son inventeur.

C'est ce type de carrés que nous avons choisi pour construire... un cube ayant les mêmes propriétés!

Il faut souligner que ce type de construction ne peut se réaliser que quasiment avec des ordres multiples de 8.

Aussi nous allons nous lancer dans la construction d'un cube d'ordre 16!!!

Ceci implique que dans ce cube il y aura 16³ nombres, soit 4096 au total!

Nous finiront cet article en précisant que l'exemple ci-dessus est tiré du livre "Les carrés magiques" de R.Descombes, pages 269 et suivantes.

Pour le cube, il s'agit d'un travail personnel, déposé sous enveloppe cachetée.

Mais chaque "visiteur" pourra en disposer.

Patience pour la suite, ce blog est en construction.

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