Premiers étages

                                          Les carrés magiques type Benjamin Franklin (1706-1790)

1-Exposé de la méthode : Application a un carré d'ordre 8.

On prépare 3 grilles d'ordre 8. On repère les lignes par les lettres A, B, C, ...et les colonnes par les chiffres 1, 2, 3...

On construit le premier carré.

                                 1       2     3       4     5       6      7      8

                        A      1       2     3       4     5      6       7      8

                       B       9    10   11    12   13    14     15    16

                       C     17   18   19    20    21    22    23    24

                       D     25   26   27    28   29    30     31    32

                       E     33   34   35     36   37    38     39    40

                      F      41   42   43     44    45    46    47    48

                      G     49   50    51     52    53   54     55   56

                      H     57   58    59     60    61   62    63    64

Dans le second carré, on place les lettresde A à H dans l'ordre dans les cases des lignes impaires,

et dans l'ordre inverse dans les lignes paires.

Puis on  place la suite  1, 7, 3, 5 , 5, 3, 7, 1 dans les cases des colonnes impaires, et 8, 2, 6, 4, 4, 6 2, 8 dans les colonnes paires.

On obtient donc:

                              1       2     3       4     5       6      7      8

                      A       A1    B8   C1  D8  E1   F8   G1    H8

                       B     H7   G2  F7   E2  D7   C2     B7   A2

                       C     A3  B6   C3   D6   E3    F6    G3    H6

                       D     H5  G4  F5    E4  D5   C4     B5   A4

                       E     A5   B4  C5    D4   E5    F4     G5   H4

                      F      H3   G6 F3    E6    D3    C6    B3    A6

                      G     A7   B2   C7    D2   E7    F2    G7  H2

                      H     H1  G8  F1     E8   D1   C8    B1    A8

Dans le troisième carré, on inscrit alors à la place correspondante à chaque case repérée de la deuxième grille, le nombre correspondant au repère du premier carré.

Ainsi à B8 correspond 16, à H2 correspond 58...

                                 1       2     3       4     5       6      7      8

                        A      1     16    17   32    33    48     49    64

                       B      63    50   47   34   31    18     15       2

                       C       3   14   19    30    35    46    51    62

                       D     61   52   45    36   29    20     13      4

                       E       5   12   21     28   37    44     53    60

                      F      59  54   43     38    27    22    11       6

                      G       7   10    23     26   39    42     55   58

                      H     57   56    41     40   25   24        9    8

On obtient un carré aux propriétés spéciales.

La somme des termes des lignes et des colonnes est 260.                                             

La somme des deux diagonales est de 520 (260x2)

La somme de 4 termes en carré est égale à 130.

La "spécificité" de ce carré est la dernière propriété.

En effet, dans les carré "classiques", la somme des termes compris dans chaque diagonale est

égale à la somme des termes des lignes et des colonnes. C'est la "constante magique".

Par contre, la dernière "spécificité", n'est jamais réalisée.

Ces carrés de 4 termes sont appelés des carrés "type Benjamin Franklin", du nom de son inventeur.

C'est ce type de carrés que  nous avons choisi pour construire... un cube ayant les mêmes propriétés!

Il faut souligner que ce type de construction ne peut se réaliser que quasiment avec des ordres multiples de 8.

Aussi nous allons nous lancer dans la construction d'un cube d'ordre 16!!!

Ceci implique que dans ce cube il y aura 16³ nombres, soit 4096 au total!

Nous finiront cet article en précisant que l'exemple ci-dessus est tiré du livre "Les carrés magiques" de R.Descombes, pages 269 et suivantes.

Pour le cube, il s'agit d'un travail personnel, déposé sous enveloppe cachetée.                     

Mais chaque "visiteur" pourra en disposer.

Patience pour la suite, ce blog est en construction.